SOBRE UMA REPRESENTAÇÃO INFINITESIMAL DO UNIVERSO

Imagine-se um ponto ideal. Imagine-se uma realidade totalmente vazia com exceção desse único ponto. Como não existem referências, podemos atribuir-lhe um número arbitrário, e por que não 0. Matematicamente,  isto quer dizer posicionar o ponto em um espaço unidimensional, ou descrevê-lo com um bit de informação se utilizarmos números em sistema binário (vamos assumir a notação binária ao longo deste post). Entretanto,  como não há restrições para o espaço em nosso exercício de imaginação, adicionemos uma nova dimensão ao longo da qual medir o ponto, ou seja, o façamos habitar uma região bidimensional. Utilizando a medida que escolhemos anteriormente como referência, atribuamos o número 1, digamos, ao valor do ponto na segunda dimensão. O ponto, descrito por 01 (se convencionarmos assim, ao invés de 10), é descrito com 2 bits de informação. Repetindo esse processo podemos produzir um ponto, digamos 1010, que possui quatro dimensões e é descrito com 4 bits.

Escolhendo sempre apenas um dígito entre 0 e 1 para descrever a medida do ponto ao longo de uma dimensão, convencionamos que cada dimensão aumenta 1 bit na quantidade de informação (ou entropia*) necessária para descrever o ponto. Além disso, nessa realidade imaginada, os pontos só podem existir nos vértices de um hipercubo de 4 dimensões (ou tesserato), de lado 1.Imagine-se um ponto ideal. Imagine-se uma realidade totalmente vazia com exceção desse único ponto. Como não existem referências, podemos atribuir-lhe um número arbitrário, e por que não 0. Matematicamente,  isto quer dizer posicionar o ponto em um espaço unidimensional, ou descrevê-lo com um bit de informação se utilizarmos números em sistema binário (vamos assumir a notação binária ao longo deste post). Entretanto,  como não há restrições para o espaço em nosso exercício de imaginação, adicionemos uma nova dimensão ao longo da qual medir o ponto, ou seja, o façamos habitar uma região bidimensional. Utilizando a medida que escolhemos anteriormente como referência, atribuamos o número 1, digamos, ao valor do ponto na segunda dimensão. O ponto, descrito por 01 (se convencionarmos assim, ao invés de 10), é descrito com 2 bits de informação. Repetindo esse processo podemos produzir um ponto, digamos 1010, que possui quatro dimensões e é descrito com 4 bits.

Designando esse ponto e o espaço que o contém como um universo, podemos desenhar um universo equivalente em quantidade de informação (entropia máxima informacional) na forma de um espaço plano contendo dois pontos bidimensionais. Convencionando sempre apenas 1 dígito para descrever cada medida ao longo de uma dimensão, temos que os dois pontos só poderiam existir em um dos quatro vértices de um quadrado – {00, 01, 10, 11} –. Chamemos o universo de um único ponto de universo A e o universo de um número de pontos maior que um de B. Um universo A com 6 dimensões, ou 6 bits seria equivalente a um universo B plano, também de 6 bits, com três pontos, ou a um outro universo B de 6 bits, mas tridimensional com dois pontos. A informação contida nos dois universos é a mesma, mas em nossa representação linguística os universos A e B talvez difiram no modo com que as informações são associadas, sem necessariamente alterar o caráter qualitativo geral da informação.

O único ponto presente no universo A continua sendo um único ponto presente na mesma posição não importa quanta informação acrescentemos a ele seguindo esse processo. Ao produzirmos um universo A de um número qualquer d_A de dimensões (ou de bits),estamos desenvolvendo ao mesmo tempo um universo B de um número de dimensões d_B = ^d_A⁄_n, onde n é o número de pontos presentes no universo B. Dentro, claro, das convenções aqui adotadas.  Podemos sempre produzir um universo B tridimensional de complexidade arbitrária utilizando um x = 3n. Pode ser difícil falar em complexidade quando o universo só pode ser habitado nos vértices de um cubo, mas se extendermos um pouco mais nosso modelo ao quebrar algumas das restrições que nós mesmos nos impomos para construí-lo, enxergamos como essa complexidade pode facilmente surgir.

Figura 1. À esquerda são representados exemplos de universos tipo "A" e à direito respectivas transformações em universos tipo "B" de 2 e 3 dimensões. Note que, de acordo com a transformação, a sequência de números que descreve o universo tipo "A" é quebrada em pedaços de mesmo comprimento que descrevem elementos no universo tipo "B". Uma sequência num universo tipo "A" pode conter informação para descrever um cubo, ou, de acordo com  d_B = ^d_A⁄_{n ,} 3 quadrados (superpostos).

Se escolhemos um valor limite maior do que 1 bit para a quantidade de informação necessária para descrever um ponto ao longo de uma dimensão, somos capazes de descrever posições intermediárias entre um máximo e um mínimo – antes, os valores oscilavam entre um mínimo 0 e um máximo 1, mas agora permitimos que eles oscilem em posições discretas entre um máximo 1111... e um mínimo 0000... (Podemos inclusive assumir valores reais em binário, para expandir a quantidade de valores intermediários entre os extremos ao infinito, mas, como frações em binário tendem a ter uma representação infinita, é preciso nesse caso realizar um tratamento especial para prevenir que uma quantidade infinita de informação seja necessária para descrever uma medida irracional, o que pode requerer a discretização do espaço) –. Dessa forma, eliminamos a relação de igualdade entre a quantidade de informação e quantidade de dimensões do universo A, entretanto podemos manter a relação linear na forma d_a = ^x⁄_m, onde m é o a quantidade de informação necessária para se descrever uma medida e x é o conteúdo máximo de informação do universo, em bits. Ajustando os parâmetros x, n e m, podemos produzir um universo B tridimensional de complexidade topológica arbitrária a partir de um universo A pontual.

Figura 2. Topologia arbitrária em um espaço discretizado tridimensional. A construção para um tal modelo se baseia na escolha de um número fixo qualquer de dígitos para a representação da magnitude de uma medida ao longo de uma dimensão. Isto quer dizer que, apesar de tridimensional, o universo tipo "B" representado não requer apenas 1 dígito para descrever a medida de um ponto ao longo de uma dimensão, ou 3 dígitos para descrever completamente 1 ponto. Determinados números de valores intermediários podem ser obtidos. No caso, cada ponto pode ocupar uma de 2¹⁰ posições.

Se tomarmos o universo observável e tirarmos uma “foto” do seu estado atual, podemos capturá-lo numa sequência binária que represente todo o seu conteúdo informacional na forma de um universo A. O universo que observamos seria um universo B resultante da transformação do universo A consistente de um único ponto. Assumimos que o universo observável não sofre perdas ou ganhos de conteúdo (e.g. consiste em um sistema isolado), ou seja, a “magnitude” do universo permanece constante. No entanto, aceitamos o deslocamento relativo de partículas pontuais, o que significa um rearranjo de informação e um rearranjo dos valores que o universo A adquire em seu espaço. Podemos tanto pensar no universo A como um ponto em uma hiperesfera, quanto como um vetor. Isso implica que, com o passar do tempo, o vetor universo A muda de orientação e descreve uma trajetória na superfície de uma hiperesfera de raio equivalente à sua magnitude. Que padrões seríamos capazes de observar para a trajetória do universo observável nesse “espaço A”?!

Essa representação também pode permitir uma conexão entre a entropia informacional e a entropia física. Assumindo o universo observável como um sistema isolado, a sua entropia tende a aumentar. Geralmente isto quer dizer que o universo tende a assumir estados em que seus componentes ocupam o maior número possível de posições, o que requer uma quantidade maior de informação para descrevê-lo. No entanto, isto não precisa ser verdade caso não ignoremos as relações entre os elementos que compõem o universo, e é aí que a complexidade cumpre seu papel. Estudar a evolução conjunta de ambas as entropias pode talvez ser frutífero para trazer esclarecimentos sobre a estrutura do universo. Nos primeiros exemplos utilizei o termo “entropia” como sinônimo de “quantidade de informação”, mas isto não é verdade, especialmente num universo em que seus elementos variam de forma relativa uns aos outros. A quantidade total de informação se mantém, mas se a informação se torna mais redundante (i.e. se o universo se “organiza” mais), a sua entropia informacional diminui (junto com a entropia física de uma forma geral, mas não necessariamente).

Figura 3. Esquerda: o universo como um ponto infinitesimal numa hiperesfera de n dimensões.  Direita: o universo como um vetor cuja orientação muda descrevendo uma trajetória numa hiperesfera de raio equivalente à magnitude do vetor.

Outra implicação é que, como um ponto ou vetor, o universo ocupa um espaço infinitesimal na superfície de uma hipersesfera, o que não impede que outros universos (possivelmente uma quantidade infinita) de mesma magnitude existam sobre esse mesma superfíce, ou que universos de magnitudes diferentes existam em estratos diferentes da realidade.

Ainda outra implicação é que, visto dessa forma, o universo poderia estar expandindo em quantidade de informação, ao invés de simples extensão do espaço. Uma quantidade maior de informação disponível para o universo poderia representar uma quantidade maior de mapeamento de seus elementos, o que pode ser traduzido como uma expansão do espaço. O big-bang poderia ser interpretado como uma explosão informacional que mantém o universo como uma única partícula infinitesimal.

* Entropia do ponto de vista da Teoria da Informação